Pour examiner le développement de la fonction y = f(x) et pour tracer le graphique il est préférable de procéder selon le schéma suivant :
Détermination de l'ensemble de définition
de la fonction (ou champ de définition ou ensemble
d'existance), c'est à dire l'ensemble des valeurs réelles
que la variable indépendante x peut prendre.
Dans l'absence d'autres limitations une fonction
analytique y = f(x) est définie sur tout l'axe réel,
sauf dans les cas suivants :
y = f(x) = P(x) / Q(x) | où Q(x) 0 | ||
y = f(x) = | où R(x) 0 et si n pair | ||
y = f(x) = ln A(x) | où A(x) > 0 |
P(x), Q(x) et R(x) sont des expressions analytiques dépendantes de x.
Détermination des éventuelles symétries :
Détermination des éventuelles périodicités
:
Une fonction est périodique si :
f(x) = f(x + kp) où p est la période et k un nombre entier
relatif.
Exemples :
sin x = sin (x + 2k)
tan x = tan (x + k)
Recherche des intersections avec les axes de
coordonnées :
On détermine les intersections avec l'axe des x en
résolvant l'équation :
f(x) = 0
On détermine les intersections avec l'axe
des y en résolvant l'équation :
y = f(0)
Détermination des limites de la fonction :
Ces limites sont recherchées quand x + et x - si l'ensemble de
définition comprend les intervalles [a; +[ et ]-; b].
Quand x + si la fonction
est définie sur [a; +[.
Quand x - si la fonction
est définie sur ]-; b].
La limite est recherchée aussi pour les points
d'accumulation de l'ensemble d'existance où la fonction
n'est pas définie. A cette occasion il faut trouver, selon
les cas, la limite droite et la limite gauche ou seulement la
limite droite ou la limite gauche.
Recherche des asymptotes :
a) Asymptotes verticales :
s'il résulte lim f(x) = alors x = c est l'asymptote
verticale
x
c
b) Asymptotes horizontales
:
s'il résulte lim f(x) = k alors y = k est l'asymptote
horizontale
x
c) Asymptotes obliques :
s'il résulte lim f(x) =
x
l'asymptote oblique est définie par la droite y = mx + q
si les limites suivantes existent et sont finies :
m = lim f(x) /
x et q =
lim [f(x) - mx]
x x
Détermination des maxima et minima
relatifs et de points d'inflexions
horisontaux.
Les abscisses des points de maximum et minimum relatifs
et des points d'inflexions horizontaux, dans les points
où la fonction est dérivable, sont déduites en
résolvant l'équation :
(1) | f '(x) = 0 |
Si x0 est une solution de (1) et s'il
s'ensuit que :
si f '''(x0) 0 alors x0 est un point d'inflexion horizontal
si f '''(x0) = 0 alors on calcule les dérivées successies jusqu'à trouver celle qui en x0 ne s'annule pas.
Si cette dernière est d'ordre pair on a un maximum relatif en x0 quand cette dérivée est négative ou bien un minimum relatif si elle est positive.
Si au contraire elle est d'ordre impair on a en x0 un point d'inflexion horizontal.
Autrement, la détermination des maxima et minima relatifs et des points d'inflexions horizontaux peut être faite en étudiant le signe de f '(x) dans un voisinage suffisamment petit des points qui sont solutions de (1) :
Si x0 est une solution de (1) et s'il
s'ensuit que :
Détermination de la concavité,
de la convexité et des points
d'inflexion qui ne sont pas horizontaux de la
courbe.
La courbe a la concavité ou la convexité vers la
direction positive de l'axe y selon que f ''(x) > 0 ou
f ''(x) < 0.
Il s'ensuit que si f ''(x) = 0 et f '''(x) 0 on a un
point d'inflexion.