Soit le polynôme du quatrième degré suivant :
(1) x4 + 4x3 - 81x2 -16x + 308 = 0
L'objectif est de mettre (1) sous la forme (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0
On commence par rechercher une racine évidente du polynôme.
(Une racine évidente est une solution comme -2, -1, 1, 2, 3...)
Dans notre cas, on constate que 2 est une racine évidente de (1).
On souhaite ensuite factoriser le polynôme sous la forme :
(x - 2)(ax3 + bx2 + cx +d) = 0
Pour cela, on utlise le taleau de Horner :
On commence par
reporter les coefficients du polynôme (1) dans la première
ligne dans l'ordre des exposants décroissants.
On place la racine
évidente dans la case de gauche sur la deuxième ligne.
On reporte le
premier coefficient dans la première case de la troisième
ligne.
Ensuite, on
répète les actions suivantes jusqu'à arriver à la dernière
case :
Multiplier le nombre de la dernière ligne par la racine évidente.
Reporter le résultat dans la case située à droite sur la deuxième ligne
Effectuer l'addition des chiffres de la première et la deuxième ligne et reporter le résultat dans la troisième ligne.
A partir des coefficients obtenus sur la troisième ligne on
peut effectuer la factorisation :
(1) devient (x - 2)(x3 + 6x2 - 69x - 154) =
0
On peut ensuite recommencer la méthode de Horner avec le
polynôme
(2) x3 + 6x2 - 69x - 154 = 0
(2) a une racine évidente : -2
d'où le tableau de Horner suivant :
on factorise donc (1) comme suit :
(1) (x - 2)(x + 2)(x2 + 4x -77) = 0
On peut alors résoudre le polynôme du second degré et on
obtient les deux solutions 7 et -11.
La factorisation de (1) donne donc :
(x - 2)(x + 2)(x - 7)(x + 11) = 0 |